π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=lnxx的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小

Question

π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）=(lnx)/(x)的单调区间；
（Ⅱ）求e³，3^e，e^π，π^e，3^π，π³这6个数中的最大数和最小数；
（Ⅲ）将e³，3^e，e^π，π^e，3^π，π³这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=(lnx)/(x)，∴f′（x）=(1−lnx)/(x2)，
当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．
故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．
（Ⅱ）∵e＜3＜π，
∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．
于是根据函数y=lnx，y=e^x，y=π^x在定义域上单调递增，可得3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，
故这六个数的最大数在π³与3^π之中，最小数在3^e与e³之中．
由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即(lnπ)/(π)＜(ln3)/(3)＜(lne)/(e)，
由(lnπ)/(π)＜(ln3)/(3)，得lnπ³＜ln3^π，∴3^π＞π³；
由(ln3)/(3)＜(lne)/(e)，得ln3^e＜lne³，∴3^e＜e³．
综上，6个数中的最大数是3^π，最小数是3^e．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3^e＜π^e＜π³＜3^π，3^e＜e³，
又由（Ⅱ）知，(lnπ)/(π)＜(lne)/(e)，得π^e＜e^π，
故只需比较e³与π^e和e^π与π³的大小．
由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=(1)/(e)，即(lnx)/(x)＜(1)/(e)．
在上式中，令x=(e2)/(π)，又(e2)/(π)＜e，则ln(e2)/(π)＜(e)/(π)，
从而2-lnπ＜(e)/(π)，即得lnπ＞2−(e)/(π)．①
由①得，elnπ＞e（2-(e)/(π)）＞2.7×（2-(2.72)/(3.1)）＞2.7×（2-0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπ^e＞lne³，
∴e³＜π^e．
又由①得，3lnπ＞6-(3e)/(π)＞6-e＞π，即3lnπ＞π，
∴e^π＜π³．
综上可得，3^e＜e³＜π^e＜e^π＜π³＜3^π，即6个数从小到大顺序为3^e，e³，π^e，e^π，π³，3^π．