程先生买了一套总价为80万元住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清．问程先生每月应还款多少元(精

Question

程先生买了一套总价为80万元住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清．问程先生每月应还款多少元(精确到0.01元)．
(注：如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额x元，此时贷款余额为a(1+0.5%)-x元)____

Answer 1

【分析】设程先生在第n个月时还欠银行贷款a_n万元，每月固定还款x万元，然后根据题意建立递推关系，构造新数列为等比数列，求出通项公式，根据a₃₆₀=0建立方程，求出x即可得到所求．

设程先生在第n个月时还欠银行贷款a_n万元，每月固定还款x万元，
\n则a_n=a_n-1(1+0.5%)-x，a₀=50，…(4分)
\na_n+k=1.005(a_n-1+k)，
\na_n=1.005a_n-1+0.005k，
\n所以k=-200x，{a_n-200x}是公比为1.005的等比数列，…(8分)
\n即a_n-200x=(a₀-200x)•1.005ⁿ．
\n由a₃₆₀=0，得0-200x=(50-200x)•1.005³⁶⁰．…(10分)
\n利用计算器可以求得x=0.299775万元，即每月还款2997.75元.…(12分)

【点评】本题主要考查了数列的应用，以及求通项构造法是常用的方法，同时考查了计算能力，属于中档题．