证明：非齐次线性方程组AX=B有解的充分必要条件为（A转置）Y=0的解都是（B转置）Y=0的解

Question

证明：非齐次线性方程组AX=B有解的充分必要条件为 （A转置）Y=0的解都是（B转置）Y=0的解

Answer 1

用A'表示A的转置.先证必要性,如果AX=B有解,设X为一个解,则AX=B,两边转置得X'A'=B',所以若A'Y=0,就有B'Y=X'A'Y=0,这就是说A'Y=0的解都是B'Y=0的解.再证充分性,如果A'Y=0的解都是B'Y=0的解,那么由A'Y=0和B‘Y=0联立构成的新方程组和A'Y=0是同解方程组,由于构成同解方程组的矩阵有相同的秩,则r[(A',B')']=r(A'),所以r(A,B)=r(A)（这是因为转置不改变矩阵的秩）,即方程组AX=B系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,这就证明了AX=B有解.