直线L过点P（9,1）,与射线y=x（x>=0）交于点Q,与x轴正半轴交于点A,求使△OAQ面积最小的直线方程L

Question

直线L过点P （9,1）,与射线y=x（x>=0）交于点Q,与x轴正半轴交于点A,求使△OAQ面积最小的直线方程L

Answer 1

解: 设L的方程为 x/a+y/b=1 点Q在射线y=x（x>=0上 设Q的坐标为(m,m),代入 PQ的方程 x/a+y/b=1 得 点Q的坐标为(ab/(a+b),ab/(a+b)), 由题意 A点的坐标为(a,0)
△OAQ面积S=1/2*am=1/2*(a^2b)/(a+b)
又因为L过点P （9,1）,所以9/a+1/b=1 解得b=a/(a-9) 代入△OAQ面积S=1/2*am=1/2*(a^2b)/(a+b)
得S=1/2*a^2/(a-8)
=1/2*[(a+8)(a-8)+64]/(a-8)
=1/2*[a+8+64/(a-8)]
=1/2*[(a-8)+64/(a-8)+16]
>=1/2*[16+16]
=16
当且仅当a=16时等号成立 b=16/7
故此时L的方程为x/16+7y/16=1
即x+7y-16=0