A,B均为3阶矩阵,A为对角矩阵,对角线上的3个数为2,3,4已知A^-1BA=6A=BA（注A^-1为A的逆矩阵）求B是A^-1BA=6A+BA

Question

A,B均为3阶矩阵,A为对角矩阵,对角线上的3个数为2,3,4 已知A^-1BA=6A=BA （注A^-1为A的逆矩阵） 求B
是 A^-1BA=6A+BA

Answer 1

由A^-1BA=6A+BA得
A^-1BA*A^-1=6A*A^-1+BA*A^-1
A^-1B=6E+E*B
A^-1B-E*B=6E
(A^-1-E)*B=6E
所以B=6E*(A^-1-E)^-1
具体,带入数据运算结果如下:
A^-1直接等于一个对角矩阵,对角线上的3个数为1/2,1/3,1/4
E是3阶的单位矩阵,对角线上的数字全为1,其他都是0.
A^-1-E得到一个新的对角矩阵,对角线上的3个数为-1/2,-2/3,-3/4
(A^-1-E)^-1再得到一个新的对角矩阵,对角线上的3个数为-2,-3/2,-4/3
6E就是对角线上的数字全为6,其他都是0的对角矩阵
最后6E*(A^-1-E)^-1得到一个对角矩阵,对角线上的3个数为6*(-2)=-12,6*(-3/2)=-9,6*(-4/3)=-8
所以B就是一个对角矩阵,对角线上的3个数为-12,-9,-8