点O、P在△ABC内,且折线BO-OP-PC与BC组成凸四边形.求证：OB+OP+PC＜AB+AC

Question

点O、P在△ABC内,且折线BO-OP-PC与BC组成凸四边形.求证：OB+OP+PC＜AB+AC

Answer 1

延长BO、OP分别交AC于D、E.
根据三角形两边之和大于第三边,有：AB＋AD＞BD,OD＋DE＞OE,PE＋EC＞PC.
上述三式相加,得：AB＋AD＋OD＋DE＋PE＋EC＞BD＋OE＋PC.
显然,有：BD＝OB＋OD、OE＝OP＋PE、AD＋DE＋EC＝AC,代入上式中,得：
AB＋AC＋OD＋PE＞OB＋OD＋OP＋PE＋PC,∴AB＋AC＞OB＋OP＋PC,
即：OB＋OP＋PC＜AB＋AC.