已知A,B分别在射线CM，CN（不含端点）上运动，∠MCN＝2/3π，在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c。（1）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2，求c的值（2）若c＝√3∠ABC＝X，试

Question

已知A,B分别在射线CM，CN（不含端点）上运动，∠MCN＝2/3π，在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c。
（1）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2，求c的值
（2）若c＝√3 ∠ABC＝X，试用X表示三角形ABC的周长并求出周长最大值。

Answer 1

（1）设 a=c-4,b=c-2,已知 ∠C=∠MCN=2π/3；
由 c²=a²+b²-2ab*cosC,将已知条件代入得：c²=(c-4)²+(c-2)²-2(c-4)(c-2)*cos(2π/3)；
整理得：c²-9c+14=0,解得 c=7（c=2 舍去）；
（2）a/sinA=b/sinB=c/sinC,则 a=c*sinA/sinC=√3*sin(π-2π/3-x)/sin(2π/3)=2sin(π/3-x),
b=c*sinB/sinC=√3*sinx / sin(2π/3)=2sinx；
三角形的周长=a+b+c=2sin(π/3-x)+2sinx+√3=2(√3/2)*cosx+(2-1)sinx+√3
=√3cosx+sinx+√3=2sin(x+π/3)+√3；
当 x=π/2-π/3=π/6 时（亦即∠A=∠B时）,最大周长=2+√3；