（2010•泸州）已知二次函数y1=x2-2x-3及一次函数y2=x+m．（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余

Question

（2010•泸州）已知二次函数y₁=x²-2x-3及一次函数y₂=x+m．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y₂=x+m有三个不同公共点时m的值；
（3）当0≤x≤2时，函数y=y₁+y₂+（m-2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵y₁=x²-2x-3=（x-1）²-4（1分）
则抛物线的顶点坐标为（1，-4）（2分）
∵y₁=x²-2x-3的图象与x轴相交，
∴x²-2x-3=0，（3分）
∴（x-3）（x+1）=0，
∴x=-1，或x=3，
∴抛物线与x轴相交于A（-1，0）、B（3，0），（4分）

（2）翻折后所得新图象如图所示，（5分）
平移直线y₂=x+m知：直线位于l₁和l₂时，它与新图象有三个不同公共点，如图所示，
①当直线位于l₁时，此时l₁过点A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1；（6分）
②当直线位于l₂时，
此时l₂与函数y=-x²+2x+3（-1≤x≤3）的图象有一个公共点，
∴方程x+m=-x²+2x+3，
即x²-x-3+m=0有一个根，（7分）
故△=1-4（m-3）=0，
即m=(13)/(4)；（8分）

（3）∵y=y₁+y₂+（m-2）x+3
=x²+（m-3）x+m，
∵当0≤x≤2时，函数y=x²+（m-3）x+m的图象与x轴有两个不同的交点，
∴m应同时满足下列三个方面的条件：
方程x²+（m-3）x+m=0的判别式△=（m-3）²-4m=（m-1）（m-9）＞0，（9分）
抛物线y=x²+（m-3）x+m的对称轴满足0＜(3−m)/(2)＜2，（10分）
当x=0时，函数值y=m≥0，
当x=2时，函数值y=3m-2≥0，（11分）
即

(m−1)(m−9)＞0

0＜(3−m)/(2)＜2

m≥0

3m−2≥0

，
解得(2)/(3)≤m＜1；
∴当(2)/(3)≤m＜1时，函数图象y=y₁+y₂+（m-2）x+3（0≤x≤2）与x轴有两个不同交点．（12分）