非负随机变量{Xi},i>=1,相互独立且同分布.N为非负整数值随机变量,且与{Xi}独立S=SUM{Xi}(从i=1到n)=X1+X2+...+Xn,求证,期望E(S)=E(N)E(X1)

Question

非负随机变量{Xi},i>=1,相互独立且同分布.N为非负整数值随机变量,且与{Xi}独立
S=SUM{Xi}(从i=1到n)=X1+X2+...+Xn,求证,期望E(S)=E(N)E(X1)

Answer 1

利用重期望公式
E(S)=E{E(ΣXi | N)}
=Σ{E(ΣXi |N=j)*P(N=j)}.外面j=1到+∞求和,里面从1到N求和
=Σ E(ΣXi)*P(N=j).有条件期望知里面的求和变成从1到j求和
=Σ j*E(X1)*P(N=j).因为Xi独立同分布,所以每个EXi都相同,此时E(ΣXi)=j*E(X1)
=E(X1)*Σ j*P(N=j).E(X1)是常数,提出求和号外
=E(X1)*E(N)