1设集合A={a,b,c,d,e}上有一各划分S={{a,b},{c},{d,e}},试由S确定A的一个等价关系R.2求集合{1,2,3,…1000}中有多少元素至少能被4,5,6这三个数中的一个整除3设ρ是整数集合A上的二元关系,p={(a,b)|[(a-b

Question

1 设集合A ={a,b,c,d,e}上有一各划分S={{a,b},{c},{d,e}},试由S 确定A的一个等价关系R.
2 求集合{1,2,3,…1000}中有多少元素至少能被4,5,6这三个数中的一个整除
3 设ρ是整数集合A上的二元关系,p={(a,b) | [(a-b)/3] 属于A},试证ρ是A上的等价关系,并求ρ对应的划分.(9分)
4 求1到300之间不能被3,5,8任何一个整除的整数个数.
那些求整除的,真的要一个个去试吗,第三题怎样证明是自反对称传递的
第一题看不懂意思

Answer 1

1、定义关系R：A中的任意两个元素x,y具有关系R当且仅当x,y属于同一个划分块.所以R={,,,,,,,,}.可以证明R是自反的、对称的、传递的,所以R是等价关系.（书上有介绍如何用等价关系求划分,以及用划分求等价关系.这里等价关系的判定是可以省略的）
2、利用包含排斥原理或文氏图.设A,B,C分别表示集合{1,2,3,…1000}中能够被4、5、6整除的元素个数.则|A|=[1000/4]=250,|B|=[1000/5]=200,|C|=[1000/6]=166,|A∩B|=[1000/20]=50,|A∩C|=[1000/12]=83,|B∩C|=[1000/30]=33,|A∩B∩C|=[1000/60]=16.这里[ ]表示取整函数.
所以即为集合A∪B∪C的元素个数,所以|A∪B∪C|=(|A|+|B|+|C|)-(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)+|A∩B∩C|=466
3、对任意的x,y,z∈A,因为(x-x)/3=0∈A,所以∈ρ,所以ρ是自反的.
若∈A,则(x-y)/3是整数,(y-x)/3也是整数,所以∈ρ,所以ρ是对称的.
若∈A,∈A,则(x-y)/3与(y-z)/3都是整数,所以(x-z)/3=(x-y)/3+(y-z)/3也是整数,所以∈ρ,所以ρ是传递的.
所以ρ是等价关系.
求划分块.两个整数a,b在同一个划分块,当且仅当∈ρ,即(a-b)/3是整数,也就是说a与b除以3的余数相同.一个整数除以3的余数只有0或1或2,所以有3个划分块：
[0]={x|x=3n,n是整数}
[1]={x|x=3n+1,n是整数}
[2]={x|x=3n+2,n是整数}
所以关系ρ对应的划分是{[0],[1],[2]}.
4、这个跟第二题一样做法.
设A,B,C分别表示1～300中能够被3、5、8整除的整数个数.则|A|=[300/3]=100,|B|=[300/5]=60,|C|=[300/8]=37,|A∩B|=[300/15]=20,|A∩C|=[300/24]=12,|B∩C|=[300/40]=7,|A∩B∩C|=[300/120]=2.
所以即为集合A∪B∪C的补集的元素个数,先求|A∪B∪C|=(|A|+|B|+|C|)-(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)+|A∩B∩C|=160,那么1～300之间不能被3、5、8任何一个整除的整数个数是300-160=140