如图线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线．（1）求抛物线方程；（2）若OA•OB=-1，求m的值．

Question

如图线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线．

（1）求抛物线方程；
（2）若

OA

•

OB

=-1，求m的值．

Answer 1

（1）可设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
设直线AB的方程为y=k（x-m）（k≠0）…（2分）
联立这两个方程组消去x得，ky²-2py-2pkm=0，…（4分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知得|y₁|•|y₂|=2m，注意到y₁•y₂＜0，∴y₁•y₂=-2m，
又y₁•y₂=-2pm，∴-2m=-2pm，∵m＞0，∴p=1．
∴抛物线方程为y²=2x；…（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）．
则

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=+y₁y₂=m²-2m．（12分）
又

OA

•

OB

=-1，
∴m²-2m=-1，解得m=1．（14分）