一个圆台的母线长为12，两底面面积分别为4π，25π，（1）求这个圆台的高及截得此圆台的圆锥的母线长；（2）求这个圆台的侧面积与体积．

Question

一个圆台 的母线长为12，两底面面积分别为4π，25π，
（1）求这个圆台的高及截得此圆台的圆锥的母线长；
（2）求这个圆台的侧面积与体积．

Answer 1

（1）圆台的轴截面是等腰梯形ABCD（如图）．由已知可得上底半径O₁A=2，下底半径OB=5．
又∵腰长为12，
∴高AM=√(122−(5−2)2)＝3√(15)，
∴设截得此圆台的圆锥的母线长为x，
则由△SAO₁∽△SBO可得：
(2)/(5)＝(x−12)/(x)，解得x=20；
属于截得此圆台的圆锥的母线长20；
（2）大圆锥的底面周长为2×5π=10π，小圆锥的底面周长为2×2π=4π，
这个圆台的侧面积=大圆锥侧面积-小圆锥的侧面积=(1)/(2)×10π×20−(1)/(2)×4π×(20−12)=84π；
∴所求圆台的体积为(1)/(3)×（4π+√(4π×25π)+25π）×3√(15)=39√(15)π．