以ABAC做等边三角形,求证OA平分∠DOE.

Question

以AB AC做等边三角形,求证OA平分∠DOE.

Answer 1

已知：△ABC中,分别以AB,AC为边向外作等边三角形ABD、ACE
连接CD交AB于M,连接BE交CD于O,连接AO
求证：OA平分∠DOE
证：作∠FAO=60°交CD与F
∵△ABD是等边三角形
∴AD=AB,∠BAD=60°
同理,AE=AC,∠EAC==60°
∴∠BAD=∠EAC
∴∠BAD+∠BAC=∠EAC+∠BAC
即∠DAC=∠BAE
在△DAC与△BAE中
DA=BA
∠DAC=∠BAE
AC=AE
∴△DAC≌△BAE（SAS）
∴∠ADM=∠MBO
在△MBO中,∠MOB+∠MBO+∠BMO=180°
在△MAD中,∠DAM+∠ADM+∠AMD=180°
∵∠MMO=∠AMD
∴∠MOB=∠DAM=60°
∵∠FAO=60°
∴∠FAO=∠DAB
∴∠FAO-∠FAB=∠DAB-∠FAB
即∠DAF=∠BAO
在△DAF与△BAO中
∠DAF=∠BAO
DA=BA
∠ADF=∠BAO
∴△DAF≌△BAO（ASA）
∴FA=OA
∵△FAO中,∠FAO=60°,FA=OA
∴△FAO是等边三角形
∴∠AOF=60°
∵∠BOM+∠AOF+∠AOE=180°
∴∠AOE=60°
∴∠AOF=∠AOE
即AO平分∠DOE