已知a,b,c,d满足a+b=c+d,a^3+b^3=c^3+d^3,求证：a^1999+b^1999=c^1999+d^1999

Question

已知a,b,c,d满足a+b=c+d,a^3+b^3=c^3+d^3,求证：a^1999+b^1999=c^1999+d^1999

Answer 1

a+b=c+d,
a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=(a+b)[(a+b)^2-3ab]
c^3+d^3=(c+d)(c^2+d^2-cd)=(c+d)[(c+d)^2-3cd]
因为,a^3+b^3=c^3+d^3,
所以,(a+b)[(a+b)^2-3ab]=(c+d)[(c+d)^2-3cd]
所以,ab=cd
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(c+d)^2-2cd=c^2+d^2
下面使用归纳法：
设：a^n+b^n=c^n+d^n在n≥1时都成立
则：a^(n+1)+b^(n+1)
=(a^n+b^n)(a+b)-(a^nb+ab^n)
=(a^n+b^n)(a+b)-ab(a^(n-1)+b^(n-1))
=(c^n+d^n)(c+d)-cd(c^(n-1)+d^(n-1))
=c^(n+1)+d^(n+1)
所以,若a^n+b^n=c^n+d^n在n≥1时都成立,那么,a^(n+1)+b^(n+1)=c^(n+1)+d^(n+1)也成立
所以,a^n+b^n=c^n+d^n对所有n∈N成立,
所以,a^1999+b^1999=c^1999+d^1999