已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<2π）在一个周期内的部分对应值如下表：x-π20π6π2f（x）-1112-1（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．

Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<2π）在一个周期内的部分对应值如下表：

x	-(π)/(2)	0	(π)/(6)	(π)/(2)
f（x）	-1	1	(1)/(2)	-1

（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由表格可知，f（x）的周期T=(π)/(2)-(-(π)/(2))=π，
所以ω=(2π)/(π)=2．
又由sin（2×0+φ）=1，且0<φ<2π，所以φ=(π)/(2)．
所以f(x)=sin(2x+(π)/(2))=cos2x．…（6分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）+2sinx=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2(sinx-(1)/(2))2+(3)/(2)．
由sinx∈[-1，1]，所以当sinx=(1)/(2)时，g（x）有最大值(3)/(2)；
当sinx=-1时，g（x）有最小值-3．…（13分）