钝角三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边BC＝23，求sinB+sinC的取值范围．

Question

BC＝2√(3)，求sinB+sinC的取值范围．√(3)

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Answer 1

∵钝角三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边BC＝2√(3)，由正弦定理可得 (BC)/(sinA)＝2R＝4，解得sinA=(√(3))/(2)，故A=(2π)/(3)．
由于 sinB+sinC=sinB+sin（(π)/(3)-B）=(1)/(2)sinB+(√(3))/(2)cosB=sin（B+(π)/(3) ），
 (π)/(3)＜B+(π)/(3)＜(2π)/(3)，∴(√(3))/(2)＜sin（B+(π)/(3) ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． BC＝2√(3)

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33，由正弦定理可得 (BC)/(sinA)＝2R＝4，解得sinA=(√(3))/(2)，故A=(2π)/(3)．
由于 sinB+sinC=sinB+sin（(π)/(3)-B）=(1)/(2)sinB+(√(3))/(2)cosB=sin（B+(π)/(3) ），
 (π)/(3)＜B+(π)/(3)＜(2π)/(3)，∴(√(3))/(2)＜sin（B+(π)/(3) ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． (BC)/(sinA)BCBCBCsinAsinAsinA＝2R＝4，解得sinA=(√(3))/(2)，故A=(2π)/(3)．
由于 sinB+sinC=sinB+sin（(π)/(3)-B）=(1)/(2)sinB+(√(3))/(2)cosB=sin（B+(π)/(3) ），
 (π)/(3)＜B+(π)/(3)＜(2π)/(3)，∴(√(3))/(2)＜sin（B+(π)/(3) ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． (√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

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33222，故A=(2π)/(3)．
由于 sinB+sinC=sinB+sin（(π)/(3)-B）=(1)/(2)sinB+(√(3))/(2)cosB=sin（B+(π)/(3) ），
 (π)/(3)＜B+(π)/(3)＜(2π)/(3)，∴(√(3))/(2)＜sin（B+(π)/(3) ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． (2π)/(3)2π2π2π333．
由于 sinB+sinC=sinB+sin（(π)/(3)-B）=(1)/(2)sinB+(√(3))/(2)cosB=sin（B+(π)/(3) ），
 (π)/(3)＜B+(π)/(3)＜(2π)/(3)，∴(√(3))/(2)＜sin（B+(π)/(3) ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． (π)/(3)πππ333-B）=(1)/(2)sinB+(√(3))/(2)cosB=sin（B+(π)/(3) ），
 (π)/(3)＜B+(π)/(3)＜(2π)/(3)，∴(√(3))/(2)＜sin（B+(π)/(3) ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． (1)/(2)111222sinB+(√(3))/(2)cosB=sin（B+(π)/(3) ），
 (π)/(3)＜B+(π)/(3)＜(2π)/(3)，∴(√(3))/(2)＜sin（B+(π)/(3) ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． (√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

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33222cosB=sin（B+(π)/(3) ），
 (π)/(3)＜B+(π)/(3)＜(2π)/(3)，∴(√(3))/(2)＜sin（B+(π)/(3) ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． (π)/(3)πππ333 ），
 (π)/(3)＜B+(π)/(3)＜(2π)/(3)，∴(√(3))/(2)＜sin（B+(π)/(3) ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． (π)/(3)πππ333＜B+(π)/(3)＜(2π)/(3)，∴(√(3))/(2)＜sin（B+(π)/(3) ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． (π)/(3)πππ333＜(2π)/(3)，∴(√(3))/(2)＜sin（B+(π)/(3) ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． (2π)/(3)2π2π2π333，∴(√(3))/(2)＜sin（B+(π)/(3) ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． (√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

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33222＜sin（B+(π)/(3) ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． (π)/(3)πππ333 ）≤1，故sinB+sinC的取值范围是 （(√(3))/(2)，1]． (√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

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33222，1]．