在△ABC中，∠C=90°AC=BC，BD平分∠ABC，AD⊥BD，BD交AC于点F，延长AD、BC交于点E，（1）求证：△ACE≌△BCF；（2）求证：BF=2AD．

Question

在△ABC中，∠C=90°AC=BC，BD平分∠ABC，AD⊥BD，BD交AC于点F，延长AD、BC交于点E，

（1）求证：△ACE≌△BCF； 
（2）求证：BF=2AD．

Answer 1

证明：（1）∵∠CBF+∠CFB=90°，∠AFD+∠DAF=90°，且∠CFB=∠AFD，
∴∠CBF=∠DAF，
在△ACE和△BCF中，

∠EAC＝FBC

AC＝BC

∠ACE＝∠BCF＝90°

，
∴△ACE≌△BCF（ASA）；
（2）∵△ACE≌△BCF，
∴AE=BF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中，

∠ABD＝∠EBD

BD＝BD

∠ADB＝∠EDB＝90°

，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD=ED=(1)/(2)AE，
则BF=AE=2AD．