已知以点C(t,2/t)(t∈R,t≠0)为圆心的圆已经原点O,圆C分别交X轴,Y轴于点A,B,点A,B与点O不重合.(1)求证三角形OAB的面积为定值(2)设直线Y=-2X+4与圆C交于点M,N,OM=ON,求圆C的方程.,,,,,,

Question

已知以 点C(t ,2/t )(t∈R ,t≠0) 为圆心的圆已经原点O,圆C分别交X轴,Y轴于点 A,B,点A,B与点O不重合.
(1)求证三角形OAB的面积为定值
(2)设直线Y=-2X+4与圆C交于点M,N,OM=ON,求圆C的方程
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Answer 1

(x-t)^2+(y-2/t)^2=r^2
过原点
t^2+4/t^2=r^2
(x-t)^2+(y-2/t)^2=t^2+4/t^2
x^2-2tx+y^2-4y/t=0
x=0,y^2-4y/t=0,此处y不等于0,所以4/t
y=0,x^2-2tx=0,x=2t
所以OA=2t,OB=4/t
所以面积=OA*OB/2=4
所以面积为定值
过O做OP垂直MN
因为OM=ON
所以P是MN中点
MN斜率是-2,所以OP斜率是-1/(-2)=1/2
所以OP是y=x/2
和MN交点是P(8/5,4/5)
即P横坐标是x=8/5
x^2-2tx+y^2-4y/t=0
y=-2x+4
所以x^2-2tx+4x^2-16x+16+8x/t-16/t=0
5x^2-(2t+16-8/t)x+(16-16/t)=0
x1+x2=(2t+16-8/t)/5,
显然x=(x1+x2)/2=8/5
(t+8-4/t)/5=8/5
t+8-4/t=8
t=4/t
t=2,t=-2
代入x^2-2tx+y^2-4y/t=0
x^2-4x+y^2-2y=0和x^2+4x+y^2+2y=0