设f(x)为周期函数,周期为T,试证函数f(wt+y)(y>0)是以T/w为周期的周期函数

Question

设f(x)为周期函数,周期为T,试证函数f(wt+y)(y>0)是以T/w为周期的周期函数

Answer 1

我们知道：一个周期函数有无数个周期,而我们所谓的周期则是指最小的那个正周期
而我们要求的周期也是指最小正周期
设f(wx+y)的周期为T'(这里我设的T'就是一般的周期,我下面也就是求T'正的最小值),则满足f(wx+y)=f(w(x+T')+y) （1）
因为要求（1）式对所有x恒成立,那么必有：
w(x+T')+y=（wx+y）+n*T ,其中n为整数,T为f(x)的最小正周期
所以得：T'=n*T/w
那么很显然,当n=1时,取到T'正的最小值,即T/w