圆面积计算如图,半圆的直径AB为2,AC垂直AB于A,BD垂直AB于B且AC=1,BD=3,P为半圆上任意一点,则封闭图形ABDPC面积最大为——————

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圆面积计算
如图,半圆的直径AB为2,AC垂直AB于A,BD垂直AB于B且AC=1,BD=3,P为半圆上任意一点,则封闭图形ABDPC面积最大为——————

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答案和解析

首先作PE垂直于AB于E点,这样得到了两个梯形AEPC和BEPD,它们面积的和就是封闭图形ABDPC面积,设PE=x,在三角形ABP中根据射影定理,有AE×BE=PE^2=x^2,而AE+BE=AB=2,根据韦达定理,AE和BE是方程z^2-2z+x^2=0的两个根,公式法解方程得到z1=1+√（1-x^2）和z2=1-√（1-x^2）,直观的判断是BE较长时对增大最终的面积是有利的,所以有BE为其中较大的根.
那么有S图形ABDPC=S梯形AEPC+S梯形BEPD=（x+3）EB／2+（x+1）AE／2=x+√（1-x^2）+2,根据圆半径是1,正好可以归为三角函数问题,设O为半圆圆心,角AOP为a,得到最终式子是sina+cosa+2,在角AOP的取值范围中可以取得sina+cosa的最大值√2,所以结果为2+√2.
如果你没有学习三角函数,那么就是PE和OE的长度和加上2,在AOP为45度时PE和OE的长度和将取得最大值√2.
你的这道问题较为复杂,如果我的答案有所帮助,

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