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边长为1正方形abcd对角线ac上竖立了一个直角三角形pca(pc=1),求证斜边pa垂直对角线bd
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边长为1正方形abcd对角线ac上竖立了一个直角三角形pca(pc=1),求证斜边pa垂直对角线bd
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答案和解析
∵PA是rt△PCA的斜边,∴PC⊥AC.
∵平面PCA⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD＝AC,而PC⊥AC,∴PC⊥平面ABCD,
∴BD⊥PC.
∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC,又BD⊥PC、AC∩PC＝C,∴BD⊥平面PCA,∴PA⊥BD.
∵平面PCA⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD＝AC,而PC⊥AC,∴PC⊥平面ABCD,
∴BD⊥PC.
∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC,又BD⊥PC、AC∩PC＝C,∴BD⊥平面PCA,∴PA⊥BD.
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