已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/2=1(a＞0),其焦点在x轴上,离心率e=根号2/2．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P（x0,y0）满足OP=OM+2ON,其中M,N是椭圆C上的点,直线OM与ON的斜率之积为-1/2,

Question

已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/2=1 (a＞0),其焦点在x轴上,离心率e= 根号2/2 ． （1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点P（x0,y0）满足 OP = OM +2 ON ,其中M,N是椭圆C上的点,直线OM与ON的斜率之积为-1/2 ,求证：x0^2+2y0^2 为定值．

Answer 1

(1)因为离心率e=c/a=根号2/2,所以a=2.所以椭圆方程为x^2+2y^2=4.
（2）设M(X1,Y1),N(X2,Y2).因为OP=OM+2ON,所以
X0=X1+2X2,Y0=Y1+2Y2.因为OM与ON斜率之积=(y2/x2)*(y1/x1)=-1/2,故x1*x2=-2y1*y2
故x0^2+2y0^2=(X1+2X2)^2+2(Y1+2Y2)^2=x1^2+4x2^2+4x1x2+2y1^2+8y2^2+8y1y2
=(x1^2+2y1^2)+4*(x2^2+2y2^2)+4*(x1x2+2y1y2)
MN点均在椭圆上,所以(x1,y1),(x2,y2)均满足椭圆方程公式.再结合x1*x2=-2y1*y2,得：
x0^2+2y0^2=4+4*4+4*0=20.即x0^2+2y0^2为定值.