如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且A（4，0），点B在y轴上，且B（0，4）．（1）求线段AB的长；（2）若点E在线段AB上，OE⊥OF，OE=OF，求AE+AF的值；（3）在（2）的条件下，过点O作OM⊥

Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且A（4，0），点B在y轴上，且B（0，4）．

（1）求线段AB的长；
（2）若点E在线段AB上，OE⊥OF，OE=OF，求AE+AF的值；
（3）在（2）的条件下，过点O作OM⊥EF，交AB于点M，试确定线段BE、EM、AM的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

（1）在RT△ABO中，∵AO=OB=4，
∴AB=√(AO2+OB2)=√(42+42)=4√(2)．
（2）∵∠BOA=∠EOF=90°，
∴∠BOE=∠AOF，
在△BOE和△AOF中，

OB=OA

∠BOE=∠AOF

OE=OF

，
∴△BOE≌△AOF，
∴AF=BE，
∴AE+AF=AE+EB=AB=4√(2)．
（3）结论：FM²=AM²+AF²，理由如下：
连接FM．∵OE=OF，OM⊥EF，
∴OM垂直平分分EF，
∴ME=MF，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OBA=∠OAB=45°
由（1）可知△BOE≌△AOF，
∴BE=AF，∠OBE=∠OAF=45°，
∴∠MAF=∠OAF+∠OAB=90°，
∴FM²=AM²+AF²，
∴EM²=BE²+AM²．