（2013•吉安模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC交AB于点D，点P是⊙O上AB上方的一个动点（不经过A、B两点），OC⊥AB，若设∠A=α，∠APB=60°，∠OCB=2∠BCM．（1）求证：CM与⊙O相切；（2）当圆心O

Question

（2013•吉安模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC交AB于点D，点P是⊙O上AB上方的一个动点（不经过A、B两点），OC⊥AB，若设∠A=α，∠APB=60°，∠OCB=2∠BCM．
（1）求证：CM与⊙O相切；
（2）当圆心O在∠P内时，直接写出α的取值范围；
（3）若OC=4，PB=4√(2)，求PC的长．

Answer 1

（1）证明：连结OB，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC弧=BC弧，
∴∠APB=∠BCP，
∵∠APB=60°，
∴∠BPC=30°，
∴∠BOC=2∠BPC=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∵∠OCB=2∠BCM，
∴∠MCB=30°，
∴∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°，
∴OC⊥MC，
∴CM与⊙O相切；

（2）当O点在PA上，即AP为直径，则∠PBA=90°，而∠APB=60°，所以此时∠A=30°；
当O点在PB上，即BP为直径，则∠A=90°；
所以当圆心O在∠APB内时，α的取值范围为30°＜α＜90°；

（3）作BE⊥PC于E，如图，
在Rt△PBE中，∠BPE=30°，PB=4√(2)，
∴BE=(1)/(2)PB=2√(2)，PE=√(3)BE=2√(6)，
∵△OBC为等边三角形，
∴BC=OC=4，
在Rt△BEC中，CE=√(BC2−BE2)=√(42−(2√(2))2)=2

作业帮用户 2017-10-18

问题解析

（1）连结OB，根据垂径定理由OC⊥AB得到AC弧=BC弧，再根据圆周角定理得∠APB=∠BCP，于是由∠APB=60°得到∠BPC=30°，然后利用∠BOC=2∠BPC=60°可判断△OBC为等边三角形，则∠MCB=30°，可计算出∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）取特殊情况：当O点在PA上，即AP为直径，根据圆周定理得∠PBA=90°，而∠APB=60°，得到此时∠A=30°；当O点在PB上，即BP为直径，得到∠A=90°；由此得到当圆心O在∠APB内时，α的取值范围为30°＜α＜90°；
（3）作BE⊥PC于E，如图，在Rt△PBE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=(1)/(2)PB=2√(2)，PE=√(3)BE=2√(6)，再由△OBC为等边三角形得BC=OC=4，
则可根据勾股定理计算出CE，然后利用PC=PE+CE进行计算即可．

名师点评

本题考点：

圆的综合题．

考点点评：

本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和圆的切线的判定定理以及等边三角形的性质；会运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系计算．

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