如图所示OB为粗细均匀的均质杠杆，O为支点，在离O点距离为a的A处挂一个质量为M的物体，杠杆每单位长度的质量为m，当杠杆为多长时，可以在B点用最小的作用力F维持杠杆平衡？（）A.

Question

如图所示OB为粗细均匀的均质杠杆，O为支点，在离O点距离为a的A处挂一个质量为M的物体，杠杆每单位长度的质量为m，当杠杆为多长时，可以在B点用最小的作用力F维持杠杆平衡？（　　）
A. √(2Ma/m)
B. √(Ma/m)
C. 2Ma/m
D. 无限长

Answer 1

（1）由题意可知，杠杆的动力为F，动力臂为OB，阻力分别是重物G_物和杠杆的重力G_杠杆，阻力臂分别是OA和(1)/(2)OB，重物的重力G_物=Mg
杠杆的重力G_杠杆=mg×OB，
由杠杆平衡条件F₁L₁=F₂L₂可得：
F•OB=G_物•OA+G_杠杆•(1)/(2)OB，
（2）代入相关数据：
则F•OB=Mg•a+mg•OB•(1)/(2)OB，
得：F•OB=Mga+(1)/(2)mg•（OB）²，
移项得：(1)/(2)mg•（OB）²-F•OB+Mga=0，
∵杠杆的长度OB是确定的，只有一个，所以该方程只能取一个解，
∴该方程根的判别式b²-4ac等于0，因为当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，即有一个解，
即：则F²-4×(1)/(2)mg×Mga=0，
则F²=2mMg²a，
得F=√(2mMa)•g，
（3）将F=√(2mMa)•g代入方程(1)/(2)mg•（OB）²-F•OB+Mga=0，
解得OB=√((2Ma)/(m))．
故选A．