(2014•江西)如图,已知双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠
(2014•江西)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.
答案和解析
(1)依题意知,A(c,
),设B(t,-),
∵AB⊥OB,BF∥OA,∴•=-1,=,
整理得:t=,a=,
∴双曲线C的方程为-y2=1;
(2)证明:由(1)知A(2,),l的方程为:-y0y=1,
又F(2,0),直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.
于是可得M(2,),N(,),
∴=|2x0−3 | 3y
作业帮用户
2016-12-06
- 问题解析
- (1)依题意知,A(c,),设B(t,-),利用AB⊥OB,BF∥OA,可求得a=,从而可得双曲线C的方程;
(2)易求A(2,),l的方程为:-y0y=1,直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N,可求得M(2,),N(,),于是化简=可得其值为,于是原结论得证.
- 名师点评
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- 本题考点:
- 直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆锥曲线的关系.
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- 考点点评:
- 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想,属于难题.

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