（2014•江西）如图，已知双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠

Question

（2014•江西）如图，已知双曲线C：(x2)/(a2)-y²=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点P（x₀，y₀）（y₀≠0）的直线l：(x0x)/(a2)-y₀y=1与直线AF相交于点M，与直线x=(3)/(2)相交于点N．证明：当点P在C上移动时，(丨MF丨)/(丨NF丨)恒为定值，并求此定值．

Answer 1

（1）依题意知，A（c，(c)/(a)），设B（t，-(t)/(a)），
∵AB⊥OB，BF∥OA，∴((c+t)/(a))/(c−t)•(−1)/(a)=-1，(1)/(a)=(t)/(a(c−t))，
整理得：t=(c)/(2)，a=√(3)，
∴双曲线C的方程为(x2)/(3)-y²=1；
（2）证明：由（1）知A（2，(2√(3))/(3)），l的方程为：(x0x)/(3)-y₀y=1，
又F（2，0），直线l：(x0x)/(a2)-y₀y=1与直线AF相交于点M，与直线x=(3)/(2)相交于点N．
于是可得M（2，(2x0−3)/(3y0)），N（(3)/(2)，(x0−2)/(2y0)），
∴(丨MF丨)/(丨NF丨)=

|(2x0−3)/(3y作业帮用户2016-12-06问题解析（1）依题意知，A（c，(c)/(a)），设B（t，-(t)/(a)），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a=√(3)，从而可得双曲线C的方程；（2）易求A（2，(2√(3))/(3)），l的方程为：(x0x)/(3)-y0y=1，直线l：(x0x)/(a2)-y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=(3)/(2)相交于点N，可求得M（2，(2x0−3)/(3y0)），N（(3)/(2)，(x0−2)/(2y0)），于是化简(丨MF丨)/(丨NF丨)=(|(2x0−3)/(3y0)|)/(√((1)/(4)+((x0−2)/(2y0))2))可得其值为(2√(3))/(3)，于是原结论得证．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．考点点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)