如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△OAB的边OB在y轴上，点A的坐标为（1，3）．（1）线段OA的长为；（2）①如图1，若C为OB上一点，以AC为边在右侧作等边△

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△OAB的边OB在y轴上，点A的坐标为（1， √(3)）．
（1）线段OA的长为___；
（2）①如图1，若C为OB上一点，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，求证；OA∥BD．
②如图2，若C为OB延长线上一点，则OA∥BD还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图2，延长DB交y轴于点E，若BD=BE，求点C的坐标．

Answer 1

（1）作AF⊥OB于F，
∵点A的坐标为（1，√(3)），
∴OF=1，AF=√(3)，
由勾股定理得，OA=√(OF2+AF2)=2，
故答案为：2；
（2）①∵△OAB和△ACD都是等边三角形，
∴∠OAB=∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△OAC和△BAD中，

OA=OB

∠OAC=∠BAD

AC=AD

，
∴△OAC≌△BAD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠OBD=∠OBA+∠ABD=120°，又∠OAB=60°，
∴OA∥BD；
②∵△OAB和△ACD都是等边三角形，
∴∠OAB=∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
同理，△OAC≌△BAD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠OBD=∠OBA+∠ABD=120°，又∠OAB=60°，
∴OA∥BD；
（3）在△EOB和△DAB中，

OB=AB

∠EBO=∠DBA

BE=BD

，
∴△EOB≌△DAB，
∴∠ADB=∠OEB=30°，
∴∠CDB=30°，
∴OE∥CD，又BD=BE，
∴OC=2OB=4，
则点C的坐标为（4，0）．