证明11,111,1111,11111……不是完全平方数!

Question

证明11,111,1111,11111……不是完全平方数!

Answer 1

反证法：假设存在111……11为完全平方数,令其平方根为a
因为111……11为奇数,所以a为奇数（证略）
令a=2k+1
则a的平方=（2k+1）*（2k+1）=4k（k+1)+1
a的平方即111……11为4的倍数加1
即 111……10为4的倍数
即 111……10的二分之一为偶数
111……10除以2等于55……5明显不是偶数
所以假设错误
即11、111、1111……没有完全平方数
证毕