6.66666……（2001个6）乘以6.6666……67（2000个6最后一位是7）的简便运算怎么做?谢谢萧瑟秋风的回答啊但是两个因数不是循环小数而且第二个因数最后一位是7啊！

Question

6.66666……（2001个6）乘以6.6666……67（2000个6最后一位是7）的简便运算怎么做?
谢谢萧瑟秋风的回答啊 但是两个因数不是循环小数而且第二个因数最后一位是7啊！

Answer 1

设最后一位6或7的前面有n个6(包括整数部分的6)
6.6*6.7=44.22 (n=1,2个4,2个2,包括整数部分的2个4)
6.66*6.67=44.4222 (n=2,3个4,3个2)
6.666*6.667=44.442222 (n=3,4个4,4个2)
以此类推
6.66…6(n+1个6)*6.66…7(n个6)=44.44…422…2 (n=n,n+1个4,n+1个2)
6.66…6(2001个6)*6.66…7(2000个6)=44.44…422…2 (n=2000,2001个4,2001个2)
或者可以这样算
6.66…6(n+1个6)=6.66…(无穷个6)-0.00…066…(n+1个0或者说小数点后n个0,无穷个6)=20/3-2/3*10^(-n)
6.66…7(n个6)=6.66…(无穷个6)+0.00…033……(n+1个0,无穷个6)=20/3+1/3*10^(-n)
所以原式=[20/3-2/3*10^(-n)][20/3+1/3*10^(-n)]
=400/9+20/3*[-2/3*10^(-n)+1/3*10^(-n)]-2/9*10^(-2n)
=400/9-2/9*10^(-n+1)-2/9*10^(-2n)
=44.444… - 0.00…022…(n个0,无穷个2) - 0.00…022…(2n+1个0,无穷个2)
这个式子相当于把小数点后2n位以后的4都减了两遍2,也就是小数点后第2n+1位到无穷位都截掉了.
而小数点后第n位到第2n位只减了一遍2,第1位到第n-1位没被减过.
所以第1位到第n-1位都是4,而第n位到第2n位都是2.
1到n-1位,一共是n-1个4,
n到2n位,一共是n+1个2.
如果再算上整数部分的2个4,一共是n+1个4,n+1个2.
n=2000时,结果是44.4…42……2 (2001个4,2001个2)