已知：抛物线经过坐标原点。（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；（2）设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA+PB最短，并求出点P的坐标；（3）过点A作AC∥BP交

Question

已知：抛物线 经过坐标原点。
（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；
（2）设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA+PB最短，并求出点P的坐标；
（3）过点A作AC∥BP交y轴于点C，求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标。

Answer 1

已知：抛物线 经过坐标原点。
（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；
（2）设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA+PB最短，并求出点P的坐标；
（3）过点A作AC∥BP交y轴于点C，求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标。

（1）∵抛物线 经过坐标原点， ∴k 2 +k=0， 解得：k 1 =0，k 2 =-1， ∵k≠0 ∴k=-1 ∴ ， ∴ （2）令y=0，得 ， 解得：x 1 =0，x 2 = ， ∴ ， A关于y轴的对称点C的坐标是 ， 联结A′B，直线A′B与y轴的交点即为所求点P， 可求得直线的解析式： ， ∴P（0，2）； （3）到直线AP、AC、CP距离相等的点有四个， 如图，由勾股定理得PC=PA=AC=4，所以△PAC为等边三角形， 易证x轴所在直线平分∠PAC，BP是△PAC的一个外角的平分线,作∠PCA的平分线，交x轴于点M 1 ，交过A点的平行线于y轴的直线于点M 2 ，作△PAC的∠PCA相邻外角的平分线，交AM 2 于点M 3 ，反向延长CM 3 交x轴于点M 4 ，可得点M 1 、M 2 、M 3 、M 4 就是到直线AP、AC、CP距离相等的点，可证△APM 2 、△ACM 3 、△PCM 4 均为等边三角形,可求得： ① ，所以点M 1 的坐标为 ； ② ，所以点M 2 的坐标为 ； ③点M 3 与点M 2 关于x轴对称，所以点M 3 的坐标为 ； ④点M 4 与点A关于y轴对称，所以点M 4 的坐标为 ， 综上所述，到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标分别为 ， ， ， 。