设A，B为三阶阵，AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同特征值．证明：（1）AB=BA；（2）存在可逆阵P，使P-1AP，P-1BP同为对角阵．

Question

设A，B为三阶阵，AB=A-B，若λ₁，λ₂，λ₃为A的三个不同特征值．证明：
（1）AB=BA；
（2）存在可逆阵P，使P^-1AP，P^-1BP同为对角阵．

Answer 1

证明：（1）由AB=A-B，得AB-A+B-I=-I，
∴（A-I）（B+I）=-I
∴（B+I）（A-I）=-I
∴BA-A+B-I=-I
∴BA=A-B
∴AB=BA
（2）由于λ₁，λ₂，λ₃为A的三个不同特征值，因此存在可逆矩阵P，P的列向量为λ_i所对应的非零特征向量
使得P^-1AP=diag（λ₁，λ₂，λ₃）
而AB=BA，因此
设a为A的特征值，x为对应的非零特征向量，
则ABx=BAx=B（Ax）=B（ax）=a（Bx），
这说明Bx也是A的对应于特征值a的特征向量，
Bx和x同在a对应的特征空间（维数为1）中，x非零，
从而存在b，使得Bx=bx
这说明A的特征向量都是B的特征向量，
B也有3个线性无关的特征向量
因此，取与A的可逆矩阵P，即可得到
P^-1BP=diag（λ₁，λ₂，λ₃）