已知三角形ABC的两边AB、BC的中点分别为M、N,P为MN上的任一点.BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E.求证：AD/DC+AE/EB为定值

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已知三角形ABC的两边AB、BC 的中点分别为M、N,P为MN上的任一点.BP、CP的延长线分别交
AC、AB于D、E.
求证：AD/DC+AE/EB为定值

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答案和解析

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证明：过A作EF‖BC,与CH,BK的延长线交于E,F
因为M,N分别是三角形ABC两边AB,AC的中点
则由中位线定理
MN‖BC‖EF,
所以EP/PC=AN/NC=1,FP/PB=AM/MB=1
所以EP=PC,FP=PB
又∠EPF=∠BPC
所以△EPF≌△CPB
所以EF=BC
又EF‖BC
所以△EHA∽△CHB,△AKF∽△CKB
所以AH/HB=EA/BC,AK/KC=AF/BC
所以AH/HB+AK/KC=EA/BC+AF/BC
即AH/HB+AK/KC=(EA+AF)/BC=EF/BC=1
故AH/HB+AK/KC=1

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