如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点A为椭圆x29+2y29=1的右顶点，点D（1，0），点P，B在椭圆上，BP=DA．（1）求直线BD的方程；（2）求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；（3）是否存在

Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点A为椭圆(x2)/(9)+(2y2)/(9)=1的右顶点，点D（1，0），点P，B在椭圆上，

BP

=

DA

．

（1）求直线BD的方程；
（2）求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；
（3）是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为

BP

=

DA

，且A（3，0），所以|BP|=|DA|=2，
因为

BP

=

DA

，及BP与x轴平行，即可得B，P关于y轴对称，
所以点P的横坐标为1，从而得P（1，2），B（-1，2）…（3分）
所以直线BD的方程为x+y-1=0…（5分）
（2）线段BP的垂直平分线方程为x=0，线段AP的垂直平分线方程为y=x-1，
所以圆C的圆心为（0，-1），且圆C的半径为r=√(10)…（8分）
又圆心（0，-1）到直线BD的距离为d=√(2)，
所以直线BD被圆C截得的弦长为2√(r2-d2)=4√(2)…（10分）
（3）假设存在这样的两个圆M与圆N，其中PB是圆M的弦，PA是圆N的弦，
则点M一定在y轴上，点N一定在线段PA的垂直平分线y=x-1上，
当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有P，M，N在一条直线上，且|PM|=|PN|…（12分）
设M（0，b），则N（2，4-b），根据N（2，4-b）在直线y=x-1上，
∴4-b=2-1，∴b=3…（14分）
所以M(0，3)，N(2，1)，|PM|=|PN|=√(2)，
故存在这样的两个圆，且方程分别为x²+（y-3）²=2，（x-2）²+（y-1）²=2…（16分）