在△ABC中,AB=4,AC=2,BC=3,直线MN交AB于M,交BC于N,且将△ABC的面积二等分,则MN最小是

Question

在△ABC中,AB=4,AC=2,BC=3,直线MN交AB于M,交BC于N,且将△ABC的面积二等分,则MN最小是

Answer 1

1/2 * 根号10
首先根据a^2 = b^2+c^2-2bc*cosA,把a=3,b=2,c=4带入,
得到cosA = 11/16
又因为三角形面积S = 2bcsinA,且AB*AC=8,所以AM*AN=4
假设AM=m, AN=n,所求的MN=x
再次使用最开始的公式得到：
x^2 = m^2 + n^2 - 2mn*cosA
= m^2 + m^2 - 2 * 4 * 11/16 = m^2 + n^2 -11/2
>= 2mn - 11/2 = 5/2 = 2.5
所以x >= 根号下2.5 = 1/2 * 根号10
当且仅当m=n=2时取等号,此时N与C重合,M是AB中点.