已知数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn，且满足an=2Sn22Sn-1（n≥2）（1）求Sn；（2）证明：当n≥2时，S1+12S2+13S3+…+1nSn<32-12n．

Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，其前n项和为S_n，且满足a_n=(2Sn2)/(2Sn-1)（n≥2）
（1）求S_n；
（2）证明：当n≥2时，S₁+(1)/(2)S₂+(1)/(3)S₃+…+(1)/(n)S_n<(3)/(2)-(1)/(2n)．

Answer 1

（1） 由a_n=(2Sn2)/(2Sn-1)（n≥2），得Sn-Sn-1=(2Sn2)/(2Sn-1)，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，得(1)/(Sn)-(1)/(Sn-1)=2，
∴数列{(1)/(Sn)}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴(1)/(Sn)=(1)/(S1)+(n-1)×2=2n-1，
则Sn=(1)/(2n-1)；
（2）证明：当n≥2时，(1)/(n)Sn=(1)/(n(2n-1))<(1)/(n(2n-2))=(1)/(2)((1)/(n-1)-(1)/(n))，
∴S₁+(1)/(2)S₂+(1)/(3)S₃+…+(1)/(n)S_n<1+(1)/(2)((1)/(1)-(1)/(2))+(1)/(2)((1)/(2)-(1)/(3))+…+(1)/(2)((1)/(n-1)-(1)/(n))=(3)/(2)-(1)/(2n)．