已知数列{an}中,a1=1a2=3an=3an-1-2an-2（n>3）求a3的值.2证明数列{an-an-1}是等比数列.3求数列{an}的通项公式

Question

已知数列{an}中,a1=1a2=3an=3an-1-2an-2（n>3）求a3的值.2证明数列{an-an-1}是等比数列.3求数列{an}的通项公式

Answer 1

(1)
a3=3a2-2a1
=3×3-2×1
=9-2
=7
(2)
n≥3时, /不是n>3,而是n≥3
an=3a(n-1)-2a(n-2)
an-a(n-1)=2a(n-1)-2a(n-2)=2[a(n-1)-a(n-2)]
[an-a(n-1)]/[a(n-1)-a(n-2)]=2,为定值
a2-a1=3-1=2,n≥2时,数列{an-a(n-1)}是以2为首项,2为公比的等比数列
(3)
an-a(n-1)=2×2^(n-2)=2^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2^(n-2)
…………
a2-a1=2
累加
an-a1=2+2^2+...+2^(n-1)=2×[2^(n-1) -1]/(2-1)=2^n -2
an=a1+2^n -2=1+2^n -2=2^n -1
n=1时,a1=2-1=1；n=2时,an=2^2-1=4-1=3,均满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2^n -1