如何证明矩阵分析中的下题.设A为实数（或复数）m*n矩阵,易证：齐次线性方程组Ax=0的所有解（包括零解）的集合构成实（或复）数域R（或C）上的线性空间.

Question

如何证明矩阵分析中的下题.
设A为实数（或复数）m*n矩阵,易证：齐次线性方程组Ax=0的所有解（包括零解）的集合构成实（或复）数域R（或C）上的线性空间.

Answer 1

齐次线性方程组Ax=0的所有解（包括零解）的集合是n维向量构成的集合,是R^n（或C^n)的子集.
显然,0向量属于这个集合,故集合非空.
其次,齐次线性方程组Ax=0的任意两个解的和还是齐次线性方程组Ax=0的解.
任意一个数与齐次线性方程组Ax=0的任意一个解的乘积还是齐次线性方程组Ax=0的解.
即这个集合对加法和数与向量的乘法封闭.
由子集构成子空间的充要条件可知,齐次线性方程组Ax=0的所有解（包括零解）的集合构成实（或复）数域R（或C）上的线性空间.