随意出十个数字,要求：这十个数字第一个加第二个等于第三个,第二个加第三个点等于第四个·····直至怎样在快速时间里求出这十个数字之和?举例：123581321345589我一一尝试，发现这

Question

随意出十个数字,要求：这十个数字第一个加第二个等于第三个,第二个加第三个点等于第四个·····直至
怎样在快速时间里求出这十个数字之和?
举例：1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
我一一尝试，发现这十个数字之和=第7个数x11。也不知所以然，

Answer 1

一楼不对,设第一个数字为x,第二个为y,则第三个为x+y,第四个为x+2y,第五个为2x+3y,第六个为3x+5y,第七个为5x+8y.至此可以看见了吧,第n个是 ax+by,其中a是斐波那契数列中第n-3项,b是斐波那契数列中第n-2项,斐波那契数列是（1,2,3,5.就是楼主那个）
所以n个数求和就是等于n-3项斐波那契数列和乘以第一个数,加上n-2项斐波那契数列乘以第二个数.
斐波那契数列和是这样算的
利用特征方程的办法（这个请自行参阅组合数学相关的书）.
设斐波那契数列的通项为An.
（事实上An = (p^n - q^n)/√5,其中p = (√5 - 1)/2,q = (√5 + 1)/2.但这里不必解它）
然后记
Sn = A1 + A2 + ...+ An
由于
An = Sn - S(n-1) = A(n-1) + A(n-2) = S(n-1) - S(n-2) + S(n-2) - S(n-3)
= S(n-1) - S(n-3)
其中初值为S1 = 1,S2 = 2,S3 = 4.
所以
Sn - 2S(n-1) + S(n-3) = 0
从而其特征方程是
x^3 - 2x^2 + 1 = 0
即
(x - 1)(x^2 - x - 1) = 0
不难解这个三次方程得
x1 = 1
x2 = p
x3 = q
（p,q值同An中的p,q）.
所以通解是
Sn = c1 * x1^n + c2 * x2^n + c3 * x3^n
其中c1,c2,c3的值由S1,S2,S3的三个初值代入上式确定.我就不算了.
可以看到这个通解还是比较复杂的,对于只有十个数来说没必要这么算.所以仅十个数的情况下,最快的方法是草稿纸上直接算就行了.不会超过30秒.