连续随机变量X,Y相互独立试用期望值的定义来证明E{exp（t（X+Y））}=E{exp（tX）}E{exp（tY）}是不是用E(XY)=E(X)E(Y)这个公式?那一下就出来了

Question

连续随机变量X,Y 相互独立 试用期望值的定义来证明
E{exp（t（X+Y））}=E{exp（tX）}E{exp（tY）}
是不是用E(XY)=E(X)E(Y) 这个公式?那一下就出来了

Answer 1

使用E(XY) = E(X)E(Y)是对的.
因为X,Y相互独立,所以exp(tX)与exp(tY)也相互独立.
因此成立E(exp(tX)exp(tY)) = E(exp(tX))E(exp(tY)),即所求证.
如果要用期望的定义证明,过程和证明E(XY) = E(X)E(Y)是一样的.
将E(exp(tX)exp(tY))表示为重积分.
由独立性,重积分可化为累次积分并进一步化为两个积分的乘积.
结果就是E(exp(tX)exp(tY)) = E(exp(tX))E(exp(tY)).