求证一道图论题在几个点组成的图Gn中,若对某个2≤k≤n-2,任意k个点间的边数相同,则Gn是完全图.（提示上面说可以先征Gn是正则图,在证明它是完全图,

Question

求证一道图论题
在几个点组成的图Gn中,若对某个2≤k≤n-2,任意k个点间的边数相同,则Gn是完全图.
（提示上面说可以先征Gn是正则图,在证明它是完全图,

Answer 1

这个是图论中的Ramsey定理,题目的描述稍有问题,应该加上G是非零图的条件
1) 先证G是正则图
对于n个点,按照它们的度数从大到小排序,然后编号为v1、v2...vn,即满足d(v1)>=d(v2)>=...>=d(vn)
以下反证证明.如果G不是正则图,那就有d(v1)>d(vn)
对于V-{v1,vn}中的n-2个点,按照与v1、vn相连或者不相连,可以划分到以下4个集合中：
A：只与v1相连
B：与v1、vn都相连
C:只与vn相连
D：与v1、vn都不相连
因为d(v1)>d(vn),所以|A|>|C|
按照如下方法从V-{v1,vn}中挑选出k-1个点：
a) 优先从A中挑选
b) 如果从A中挑选不满,那么再从B∪D中挑选
c) 如果以上还挑选不满,最后从C中挑选
假设最后挑选出来的k-1个点落在A、B、C、D的子集分别为A'、B'、C'、D',根据以上方法,显然有|A'|>|C'|
考察以下两个k子集：
V1={v1}∪A'∪B'∪C'∪D'
V2={vn}∪A'∪B'∪C'∪D'
e(G[V1])-e(G[V2])=|A'|-|C'|>0,这与条件任意k个点的导出子图的边数相等相矛盾
因此d(v1)=d(vn),即G是正则图
2) 再证明对于任意的两个点,比如v1,vn,有|A|=|C|=0
1)的证明可以得到|A|=|C|
仍然通过反证证明.如果|A|=|C|>0,注意还有个条件：k-1e(G[V2]),与条件任意k个点的导出子图的边数相等相矛盾
所以|A|=|C|=0
3) 最后证G是完全图
还是通过反证证明.如果d(v1)0,所以存在v3,使得v3与v1相连但v3不与v2相连
这样v3就落在v1、v2的A集合里面,因此|A|>0,这与2)的结论相矛盾
所以d(v1)=n-1,即G是完全图