某学生在观察正整数的前n项平方和公式即12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6，n∈N*时发现它的和为关于n的三次函数，于是他猜想：是否存在常数a，b，1•22+2•32+…+n（n+1）2=

Question

某学生在观察正整数的前n项平方和公式即1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² = (n(n+1)(2n+1))/(6) ，n∈N ^* 时发现它的和为关于n的三次函数，于是他猜想：是否存在常数a，b，1•2 ² +2•3 ² +…+n（n+1） ² = (n(n+1)(n+2)(an+b))/(12) ．对于一切n∈N ^* 都立？
（1）若n=1，2时猜想成立，求实数a，b的值．
（2）若该同学的猜想成立，请你用数学归纳法证明．若不成立，说明理由．

Answer 1

证明：（1）若n=1，2时猜想成立，
假设存在符合题意的常数a，b，
在等式1•2 ² +2•3 ² ++n（n+1） ²
= (n(n+1)(n+2)(an+b))/(12) 中，
令n=1，得4= (1)/(2) （a+b）①
令n=2，得22=2（2a+b）②
由①②解得a=3，b=5，
（2）于是，对于对于一切正整数n猜想都有
1•2 ² +2•3 ² ++n（n+1） ² = (n(n+1))/(12) （3n ² +11n+10）（*）成立．
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即1•2 ² +2•3 ² ++k（k+1） ²
= (k(k+1))/(12) （3k ² +11k+10），
那么当n=k+1时，
1•2 ² +2•3 ² ++k（k+1） ² +（k+1）（k+2） ²
= (k(k+1))/(12) （3k ² +11k+10）+（k+1）（k+2） ²
= ((k+1)(k+2))/(12) （3k ² +5k+12k+24）
= ((k+1)(k+2))/(12) [3（k+1） ² +11（k+1）+10]，
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=3，b=5时题设的等式对于一切正整数n都成立．