求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．

Question

求证：1 ² －2 ² ＋3 ² －4 ² ＋…＋(2 n －1) ² －(2 n ) ² ＝－ n (2 n ＋1)( n ∈N ^* )．

 

Answer 1

利用数学归纳法来证明与自然数相关的命题，分为两步来进行。

分 析：
证明：　①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立． ②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2. 当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立． 由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
考点：
数学归纳法
点评：
主要是考查了数学归纳法的运用，分为两步骤来进行，属于基础题。