用数学归纳法证明（1•22-2•32）+（3•42-4•52）+…+[（2n-1）（2n）2-2n（2n+1）2]=-n（n+1）（4n+3）．

Question

用数学归纳法证明（1•2²-2•3²）+（3•4²-4•5²）+…+[（2n-1）（2n）²-2n（2n+1）²]=-n（n+1）（4n+3）．

Answer 1

证明：当n=1时，左边=-14，右边=-1•2•7=-14，等式成立
假设当n=k时等式成立，
即有（1•2²-2•3²）+（3•4²-4•5²）++[（2k-1）（2k）²-2k（2k+1）²]
=-k（k+1）（4k+3）
那么当n=k+1时，
（1•2²-2•3²）+（3•4²-4•5²）++[（2k-1）（2k）²-2k（2k+1）²]
+[（2k+1）（2k+2）²-（2k+2）（2k+3）²]
=-k（k+1）（4k+3）-2（k+1）[4k²+12k+9-4k²-6k-2]
=-（k+1）[4k²+3k+2（6k+7）]=-（k+1）[4k²+15k+14]
=-（k+1）（k+2）（4k+7）=-（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
根据以上论证可知等式对任何n∈N都成立．