1*22+2*32+3*42+……+n(n+1)2=22是2的平方32是3的平方……

Question

1*22+2*32+3*42+……+n(n+1)2=
22是2的平方 32是3的平方……

Answer 1

证明：假设存在符合题意的常数a,b,c,
在等式1•22+2•32++n（n+1）2
= n(n+1)\x0912 （an2+bn+c）中,
令n=1,得4= 1\x096 （a+b+c）①
令n=2,得22= 1\x092 （4a+2b+c）②
令n=3,得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3,b=11,c=10,
于是,对于n=1,2,3都有
1•22+2•32++n（n+1）2= n(n+1)\x0912 （3n2+11n+10）（*）成立．
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n,（*）式都成立．
（1）当n=1时,由上述知,（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时,（*）成立,
即1•22+2•32++k（k+1）2
= k(k+1)\x0912 （3k2+11k+10）,
那么当n=k+1时,
1•22+2•32++k（k+1）2+（k+1）（k+2）2
= k(k+1)\x0912 （3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2
= (k+1)(k+2)\x0912 （3k2+5k+12k+24）
= (k+1)(k+2)\x0912 [3（k+1）2+11（k+1）+10],
由此可知,当n=k+1时,（*）式也成立．
综上所述,当a=3,b=11,c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．