如图在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=13，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线BP与平面ABC所成的角的正切值．（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Question

如图在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=13，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，M为AC的中点．
（1）求证：PM⊥平面ABC；
（2）求直线BP与平面ABC所成的角的正切值．
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

证明：（1）作PO⊥平面ABC于点O，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，即O为△ABC的外心
又∵△ABC中，∠ABC=90°，∴O为AC边的中点，
∴O与M点重合，
∴PM⊥平面ABC；
（2）连结MB，则∠PBM就是直线BP与平面ABC所成的角，
在直角三角形PBM中，PB=13，PM=12，BM=(1)/(2)AC=5
∴tan∠PBM=(12)/(5)；
（2）三棱锥P-ABC的体积V=(1)/(3)•S_△ABC•PM=(1)/(3)×(1)/(2)×8×6×12=96．