如图，在Rt△ABC中，BC=20cm，AC=hcm，四边形DEFC是矩形且点D、E、F在△ABC的边上，设AD=xcm，矩形DEFC的面积为ycm2．（1）当h=30cm时，求y与x之间的函数关系式；（2）当h=30cm时，若y=96cm2，求x的值；

Question

如图，在Rt△ABC中，BC=20cm，AC=hcm，四边形DEFC是矩形且点D、E、F在△ABC的边上，设AD=xcm，矩形DEFC的面积为ycm²．

（1）当h=30cm时，求y与x之间的函数关系式；
（2）当h=30cm时，若y=96cm²，求x的值；
（3）h取何值时，y的最大值为180cm²？

Answer 1

（1）∵四边形DEFC是矩形，
∴DE∥CF，
∴△ADE∽△ACB，
∴(AD)/(AC)＝(DE)/(BC)，
∴(x)/(30)=(DE)/(20)，
∴DE=(2)/(3)x，
∵CD=30-x，
∴y=(2)/(3)x（30-x）=-(2)/(3)x²+20x；
（2）当h=30cm时，y=96cm²时，则96=-(2)/(3)x²+20x，
解得：x=24或6；
（3）由（1）可知(AD)/(AC)＝(DE)/(BC)，
∴(x)/(h)＝(h−x)/(20)，
∴y=-(20)/(h)x²+20x，
当x=-(20)/(2×(20)/(−h))=(1)/(2)h时，y的取值最大为(4×(20)/(−h)×0−202)/(4×(20)/(−h))=5h，
∴y的最大值为180cm²时则5h=180，
∴h=36．