设f（x）连续，且∫x0tf（2x-t）dt=arctanx3，f（1）=1，求∫21f（x）dx．

Question

设f（x）连续，且

∫

x 0

tf（2x-t）dt=arctanx³，f（1）=1，求

∫

2 1

f（x）dx．

Answer 1

令2x-t=u，
则原式变为：

∫

2x x

(2x−u)f(u)du＝arctanx3，
即：2x

∫

2x x

f(u)du-

∫

2x x

uf(u)du=arctanx³，
对x求导可得：2

∫

2x x

f(u)du+2x(2f(2x)−f(x))−2xf(2x)×2+xf(x)＝(3x2)/(1+x6)，
即：2

∫

2x x

f(u)du−xf(x)＝(3x2)/(1+x6)，
令x=1代入可得：
2

∫

2 1

f(u)du−f(1)＝(3)/(2)⇒

∫

2 1

f(x)dx＝(5)/(4)．