设y=arctanx1-x求：该曲线在x=12处的切线方程和法线方程．

Question

设y=arctan√((x)/(1-x))求：该曲线在x=(1)/(2)处的切线方程和法线方程．

Answer 1

先求y=arctanx的导数，
由y=arctanx，可得x=tany，
(dx)/(dy)=(1)/(cos2y)=1+tan²y=1+x²，
即有(dy)/(dx)=(1)/(1+x2)，
则y=arctan√((x)/(1-x))的导数为
y′=(1)/(1+(x)/(1-x))•(1)/(2√((x)/(1-x)))•(1)/((1-x)2)，
即有曲线在x=(1)/(2)处的切线斜率为
(1)/(1+1)•(1)/(2)•4=1，
曲线在x=(1)/(2)处的法线斜率为-1，
切点为（(1)/(2)，(π)/(4)），
可得曲线在x=(1)/(2)处的切线方程为y-(π)/(4)=x-(1)/(2)，
即为x-y-(1)/(2)+(π)/(4)=0，
法线方程为y-(π)/(4)=-（x-(1)/(2)），
即为x+y-(1)/(2)-(π)/(4)=0．