两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证:MN∥平面BCE。

Question

两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB ， M ∈ AC ， N ∈ FB ，且 AM = FN ，求证: MN ∥平面 BCE 。

Answer 1

证明略

证法一:作 MP ⊥ BC ， NQ ⊥ BE ， P 、 Q 为垂足，则 MP ∥ AB ， NQ ∥ AB .
∴ MP ∥ NQ ，又 AM = NF ， AC = BF ，
∴ MC = NB ，∠ MCP =∠ NBQ =45°
∴Rt△ MCP ≌Rt△ NBQ
∴ MP = NQ ,故四边形 MPQN 为平行四边形
∴ MN ∥ PQ
∵ PQ 平面 BCE ， MN 在平面 BCE 外，
∴ MN ∥平面 BCE  
证法二: 如图过 M 作 MH ⊥ AB 于 H ，则 MH ∥ BC ，

∴
连结 NH ，由 BF = AC ， FN = AM ，得
∴ NH//AF//BE
由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE
∴ MN ∥平面 BCE .