已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P、Q分别为边AB、AC上一点，PQ∥BC，M为斜边BC上的一点，若△MPQ为等腰直角三角形，则PQ的长度为．

Question

已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P、Q分别为边AB、AC上一点，PQ∥BC，M为斜边BC上的一点，若△MPQ为等腰直角三角形，则PQ的长度为 ___．

Answer 1

作ME⊥AC，MF⊥AB，

∵∠QME+∠EMP=90°，∠EMP+∠PMF=90°，
∴∠QME=∠PMF，
在△QME和△PMF中，

∠QEM=∠PFM

∠QME=∠PMF

QM=PM

，
∴△QME≌△PMF（AAS），
∴EM=FM，即AE=AF，
设AE=x，则(CE)/(AC)=(EM)/(AB)，即(3-x)/(3)=(x)/(4)，
解得：x=(12)/(7)，
∵PQ∥BC，∴(AQ)/(AC)=(AP)/(AB)，整理得：(AQ)/(AP)=(4)/(3)，
∴(AE+EQ)/(AF-PF)=(4)/(3)，
解得：EQ=(12)/(49)，
∴AQ=AE+EQ=(96)/(49)，AP=AF-PF=(72)/(49)，
∴PQ=√(AQ2+AP2)=(120)/(49)．
同理，当∠MQP=90°时，PQ=(37)/(60)．
故答案为 (120)/(49)或(37)/(60)．